정수론은 학창 시절 가장 재미있게 들었던 수업 중 하나이다.
erdos 가 공저가로서 쓴 책이었는데... 책 제목이 기억이 안나네...
문제가 많이 어려웠던 기억이 나서 교수님이 숙제로 내줬던 문제 중 절반도 못풀었던 것 같은데...
내가 자주가는 커뮤니티에 누군가 아래와 같은 문제를 질문 형태로 올렸다.
1/x^2 + 1/y^2 = 1/z^2 , (x,y,z)=1인 방정식이 양의 정수를 가질때
x=2st(s^2 +t^2)y=s^4 -t^4z=2st(s^2 -t^2) 형태 라는 걸 증명하라는데 한 2시간 고민해 봐도 모르겠네요.....혹시 아시는분이 계시려나...
분명 erdos 책에서 봤던 문제이다. 학창 시절에 못 풀었던 것 같다. 오랜만에 도전해볼까....? 하고 문제를 풀기 시작했는데,
한 시간 좀 안 걸려서 풀었던 것 같다.
아래는 내가 댓글로 단 답...
xy, xz, yz의 gcd 를 차례대로 m,n,l 이라고 하면x = mny = mlz = nl 이 나옵니다.처음 주어진 조건에 의해 mnl은 서로 소이고, m제곱은 n제곱 + l제곱입니다.즉, 피타고라스 방정식이 나옵니다. 피타고라스 방정식이 성립하려면 n이나 l이 무조건 2의 배수여야 합니다. 왜냐하면 둘 다 홀수라고 가정하면 2x+1의 형태로 표현할 수 있고, 두개를 제곱해서 더해보면 짝수가 나오는데, 4의 배수가 아닙니다. 짝수인데 4의 배수가 아니면 짝수의 제곱수가 아니고, 홀수의 제곱수도 아니므로 제곱수가 아닙니다.그러므로 n이나 l 중 둘중 하나는 2의 배수입니다. 물론, 나머지 하나는 홀수여야 하고요. (홀수가 아니라면 둘 다 짝수이므로 mnl이 서로소라는 조건에 위배가 됩니다.)이제 m = 2a +1 , n = 2b ,l = 2c+1 형태가 나오는 것까지 정리가 되엇씁니다.다시 피타고라스 방정식에 넣은 후 방정식 정리를 하면 (a-c)(a+c+1) = b^2가 나옵니다.이제 a-c = g 로 치환합시다. g는 제곱수일 수도 있고 아닐 수도 있습니다. g가 제곱수가 아니라고 가정합시다. a+c+1에 g가 들어가야 합니다. 그리고 b에도 g가 들어가야 합니다. 다시 정리하면 2a+1, 2b, 2c+1에 g가 들어갑니다. 즉, m,n,l에 다 g가 들어가고 이러면 서로소 라는 가정에 모순됩니다. 따라서, g는 제곱수여야 합니다. g=s^2이라는 형태가 나옵니다. 그리고 a+C+1은 t^2이라는 형태가 나와야 합니다. (두개를 곱하면 b^2이라는 제곱수의 형태여야 하니까요.) 이제 거의 끝났습니다.이제 다시 정리해보면 m = s제곱 더하기 t제곱n= 2st , l = s^2 - t^2이 나옵니다.그리고 다시 mn, nl, ml 을 구하면 위에 최종 형태로 나옵니다.
블로그에 올릴 겸 해서 커뮤니티에 게시글을 찾아서 답글을 읽어봤는데, 어떻게 풀었는지 도저히 모르겠다. ㅎㅎㅎ
개발자로서 눈앞에 닥친 문제를 해결해나가는 것도 재밌지만, 버그가 없는 코드라는 것을 완벽하게 증명할 수 없는 경우가 많아서 찝찝한 경우가 있는데, 수학은 그렇지 않아서 좋다.